MATRIKS

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.

Penulisan matriks:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}}}$

atau

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}}$ Matriks di atas berordo 3x2.

Beberapa contoh dari jenis-jenis matriks :

Matriks Identitas (I)

Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.

${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}}$

maka matriks transposenya (A^t) adalah ${\displaystyle A^{t}={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\\5&-7\end{pmatrix}}}$

Operasi perhitungan pada matriks

Kesamaan 2 matriks

2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}}$

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

${\displaystyle 6x=3}$ maka ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle 2y+2=1}$ maka ${\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle z-y=5}$ maka ${\displaystyle z={\frac {9}{2}}}$

${\displaystyle 2x-y+5z}$

${\displaystyle =2\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}+5\left({\frac {9}{2}}\right)}$

${\displaystyle =23}$

Penjumlahan matriks

2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&3+6x&5+z-y\\2y+3&8&-14\end{pmatrix}}}$

Pengurangan matriks

2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3-6x&5-z-y\\-2y-1&0&0\end{pmatrix}}}$

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

${\displaystyle 3{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&18x&3z-3y\\6y+6&12&-21\end{pmatrix}}}$

Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ dan ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}$

maka ${\displaystyle A\times B={\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}}}$

Contoh:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&6\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&8\\2&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}30&76\\35&64\end{pmatrix}}}$

Determinan suatu matriks

Matriks ordo 2x2

Misalkan:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

maka Determinan A (ditulis ${\displaystyle \left\vert A\right\vert }$ ) adalah:

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =a\times d-b\times c}$

Matriks ordo 3x3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$ maka tentukan ${\displaystyle \left\vert A\right\vert }$!

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}}}$

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =a.e.i+b.f.g+c.d.h-g.e.c-h.f.a-i.d.b}$

Contoh:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}}$ maka tentukan ${\displaystyle \left\vert A\right\vert }$!

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}-2&0\\3&2\\1&-3\end{matrix}}}$

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =(-2.2.5)+(0.-1.-1)+(1.3.-3)-(1.2.1)-(-2.-1.-3)-(0.3.5)=-20+0-9-2+6-0=-25}$

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika ${\displaystyle P={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}}$ maka tentukan ${\displaystyle \left\vert P\right\vert }$ dengan ekspansi baris pertama!

${\displaystyle \left\vert P\right\vert =-2\left\vert {\begin{matrix}2&-1\\-3&5\end{matrix}}\right\vert -0\left\vert {\begin{matrix}3&-1\\1&5\end{matrix}}\right\vert +1\left\vert {\begin{matrix}3&2\\1&-3\end{matrix}}\right\vert }$

${\displaystyle \left\vert P\right\vert =-2(10-3)-0+1(-9-2)=-25}$

Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}-4&5x\\-x&20\end{pmatrix}}}$

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

${\displaystyle -80+5x^{2}=0}$

${\displaystyle 5(x^{2}-16)=0}$

${\displaystyle x=-4}$ vs ${\displaystyle x=4}$

Invers matriks

Invers matriks 2x2

Misalkan:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

maka inversnya adalah:

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\left\vert A\right\vert }}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={\frac {1}{a.d-b.c}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

Sifat-sifat invers matriks

${\displaystyle A.A^{-1}=I=A^{-1}.A}$

${\displaystyle (AB)^{-1}B^{-1}.A^{-1}}$

${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}$

${\displaystyle AI=A=IA}$

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

• Jika diketahui matriks A.X=B

${\displaystyle A.X=B}$

${\displaystyle A^{-1}.A.X=A^{-1}.B}$

${\displaystyle I.X=A^{-1}.B}$

${\displaystyle X=A^{-1}.B}$

• Jika diketahui matriks X.A=B

${\displaystyle X.A=B}$

${\displaystyle X.A.A^{-1}=B.A^{-1}}$

${\displaystyle X.I=B.A^{-1}}$

${\displaystyle X=B.A^{-1}}$